题目内容
10．数学课上，张老师让同学们用一张矩形纸片进行折叠研究活动，下面是小明、小亮和小英三人的操作方法，根据他们的操作方法解答问题：（1）如图1，小明将矩形ABCD的边AB与BC重合，点A落在BC上的点A′，再打开得到折痕BF，则四边形ABA′F是正方形．
（2）如图2，小亮将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点，四边形EBFD是什么四边形？请说明理由．
（3）如图3，小英将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE，四边形AFCE是什么四边形？请说明理由．
分析 （1）先判断出四边形ABA'F是矩形，即可得出结论；
（2）判断出△EDM≌△FBN即可得出ED=BF，即可得出结论；
（3）先判断出∠AEF=∠CFE得出AF=AE即可得出结论．
解答 解：（1）由折叠知，BA'=BA，∠BA'F=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°=∠BA'F，
∴四边形ABA'F是矩形，
∵BA=BA'，
∴矩形ABA'F是正方形，
故答案为：正方；
（2）平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD．
由翻折得：BM=AB，DN=DC，
∠A=∠EMB，∠C=∠DNF，
∴BM=DN，∠EMB=∠DNF=90°，
∴BN=DM，∠EMD=∠FNB=90°．
∵AD∥BC，
∴∠EDM=∠FBN，
∴△EDM≌△FBN（ASA）．
∴ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（3）菱形；
证明：由轴对称的性质知：
AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE
∵四边形ABCD是矩形，故AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∠AFE=∠AEF
∴AF=AE，
∴AE=EC=CF=AF
即四边形AFCE是菱形．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定，解（1）的关键是判断出四边形ABA'F是矩形，解（2）的关键是判断出△EDM≌△FBN，解（3）的关键是判断出AF=AE．
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