Question

1．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）设CD与OE交于点F，若OF²+FD²=OE²，CE=3，DE=4，求线段CF的长．

Answer 1

分析 （1）先根据平行四边形的性质，得出OD=OB，再根据OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根据三角形内角和定理，求得∠OEB+∠OED=90°，即可得出结论．
（2）证明△OFD为直角三角形，得出∠OFD=90°．在Rt△CED中，由勾股定理求出CD=5．由三角形面积求出$EF=\frac{12}{5}$．在Rt△CEF中，根据勾股定理求出CF即可．

解答 （1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴OB=OD．
∵OB=OE，
∴OE=OD．
∴∠OED=∠ODE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠OEB+∠OED=90°．
∴DE⊥BE；                 
（2）解：∵OE=OD，OF²+FD²=OE²，
∴OF²+FD²=OD²．
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°．
在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=3，DE=4，
∴CD²=CE²+DE²．
∴CD=5．
又∵$\frac{1}{2}CD•EF=\frac{1}{2}CE•DE$，
∴$EF=\frac{12}{5}$．
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，CE=3，$EF=\frac{12}{5}$，
根据勾股定理得：$CF=\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理是关键．