Question

19．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax+a+4（a＜0）经过点A（-1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．

（1）填空：a=-1；顶点D的坐标为（1，4）；直线BC的函数表达式为：y=-x+3．
（2）直线x=t与x轴相交于一点．
①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．
②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为$\frac{3}{5}$，求此时t的值．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线y=ax²-2ax+a+4中，即可求出a的值；利用顶点坐标公式求出点D的坐标；求出点B、点C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）①设点M的坐标为（m，-m²+2m+3），利用tan∠COM=tan∠DBN，列出方程，求出m的值即可求出点M的坐标；
②利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用用含t的式子表示出EF、FG、PE的长度，利用三边关系即可证明；底角的余弦值为$\frac{3}{5}$，列出关于t的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+a+4（a＜0）经过点A（-1，0），
∴a+2a+a+4=0，解得：a=-1；
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
∴$-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}$=1，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-1）×3-4}{4×（-1）}$=4，
∴顶点D的坐标为：（1，4）；
令x=0，得：y=3，即点C的坐标为（0，3）；
∵点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴1×2-（-1）=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3；
故答案为：-1，（1，4），y=-x+3；
（2）①设点M的坐标为（m，-m²+2m+3），
∵∠COM=∠DBN，
∴tan∠COM=tan∠DBN，
∴$\frac{m}{-{m}^{2}+2m+3}=\frac{2}{4}$，解得：m=±$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴点M（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
②设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+6；
∴点P（t，-t²+2t+3），点E（t，-2t+6），点F（t，-t+3），
∴PE=（-t²+2t+3）-（-2t+6）=-t²+4t-3，EF=（-2t+6）-（-t+3）=-t+3，FG=-t+3，
∴EF=FG．
∵EF+FG-PE=2（-t+3）-（-t²+4t-3）=（t-3）²＞0，
∴EF+FG＞PE，
∴当1＜t＜3时，线段PE，EF，FG总能组成等腰三角形，
由题意的：$\frac{\frac{1}{2}PE}{EF}=\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{1}{2}（-{t}^{2}+4t-3）}{-t+3}=\frac{3}{5}$，
∴5t²-26t+33=0，解得：t=3或$\frac{11}{5}$，
∴1＜t＜3，
∴t=$\frac{11}{5}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合题，解决此题时要灵活运用待定系数法求函数解析式，能用含m或t的式子表示出线段的长度是解决此题的关键．