Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点D是$\widehat{AC}$的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．
（1）求证：DC²=DF•DB；
（2）若AE=AO，CD=2，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）由点D是$\widehat{AC}$的中点，得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ACD=∠CBD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）连结OD，如图，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，等量代换得到∠ODB=∠CBD，根据平行线的判定得到OD∥BC，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵点D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠CBD，
∵∠BDC=∠CDF，
∴△CDF∽△BDC，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{DB}{DC}$，
即DC²=DF•DB；

（2）解：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
而∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴$\frac{ED}{DC}$=$\frac{EO}{OB}$，
∵EA=AO=BO，
∴$\frac{ED}{2}$=$\frac{2}{1}$，
∴ED=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．