Question

11．某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	5	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	86	76	24	…

未来40天内，前20天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=$\frac{1}{4}$t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-$\frac{1}{2}$t+40（21≤t≤40且t为整数）．
       下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

Answer 1

分析 （1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．

解答 解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0），
将t=1，m=94，t=3，m=90
代入$\left\{\begin{array}{l}{94=k+b}\\{90=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m=-2t+96；

（2）前20天日销售利润为P₁元，后20天日销售利润为P₂元，
则P₁=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+25-20）=-$\frac{1}{2}$（t-14）²+578，
∴当t=14时，P₁有最大值，为578元．
P₂=（-2t+96）•（$\frac{1}{2}$t+40-20）=-t²+8t+1920=（t-44）²-16，
∵当21≤t≤40时，P₂随t的增大而减小，
∴t=21时，P₂有最大值，为513元．
∵513＜578，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．

点评 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．