Question

19．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，下面结论：
①DB=$\sqrt{2}$BE；②∠BAD=∠BHE；③AB=BH；④$\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=2
其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据勾股定理和题目中的信息可以说明结论是否成立；
②根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，可以说明结论是否成立；
③根据三角形的全等和平行四边形的性质可以说明结论是否正确；
④根据勾股定理、三角形的全等，灵活转化可以说明结论是否正确．

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DBE=∠BDE=45°，∠BED=90°，
∴BE=DE，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{2B{E}^{2}}=\sqrt{2}BE$，故①正确；
∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，
∴∠BEH=∠DEC=∠DFH=90°，
∴∠DHF+∠HDF=∠HDF+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠DHF，
∵∠BHE=∠DHF，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE，
∴∠BAD=∠BHE，故②正确
∵BE=DE，∠BEH=∠DEC=90°，∠BHE=∠DCE，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
作AM⊥CB交CB的延长线于点M，如右图所示，
∵∠AMB=∠DEC=90°，AB=CD，AAB∥CD，
∴∠ABM=∠DCE，
∴△ABM≌△DCE，
∴BM=CE，

∴AC²+BD²=AM²+（MB+BC）²+（BE²+DE²）=DE²+（CE+BC）²+（BE²+DE²）=BC²+BE²+2BE•CE+3CE²+2DE²，
2（BC²+DC²）=BC²+BC²+2DC²=BC²+（BE+CE）²+2（DE²+CE²）=BC²+BE²+2BE•CE+3CE²+2DE²，
∴$\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=2，故④正确，
故选D．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．