Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=$\frac{2}{3}$，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E处，则线段AE的长为（　　）

• A． 6$\sqrt{5}$
• B． 7$\sqrt{5}$
• C． 8$\sqrt{5}$
• D． 9$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先解直角△ABC，得出BC和AC的长．再根据旋转的性质得出BC=DC，AC=EC，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN，从而求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•cosB=18×$\frac{2}{3}$=12，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=12，AC=EC=6$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=6$\sqrt{5}$，cos∠CAN=cosB=$\frac{2}{3}$，
∴AN=AC•cos∠CAN=6$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=4$\sqrt{5}$，
∴AE=2AN=8$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．