Question

11．在平面直角坐标系中，有点A（0，4）、B（9，4）、C（12，0）．已知点P从点A出发沿着AB路线向点B运动，点Q从点C出发沿CO路线向点O运动，运动速度都是每秒2个单位长度，运动时间为t秒．
（1）当t=4.5秒时，判断四边形AQCB的形状，并说明理由．
（2）当四边形AOQB是矩形时，求t的值．
（3）是否存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：四边形AQCB是平行四边形．只要证明AB=CQ即可解决问题；
（2）当四边形AQCB是矩形时，有AB=OQ，即9=12-2t，解方程即可解决问题；
（3）当PB=CQ时，四边形PQCB是平行四边形，即9-2t=2t，可得t=$\frac{9}{4}$，此时CQ=2t=4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，由BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，推出BC≠CQ，由此即可判断，四边形PQCB不是菱形，即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形；

解答 解：（1）结论：四边形AQCB是平行四边形．
理由：∵A（0，4），B（9，4），
∴AB∥OC，AB=9，
当t=4.5秒时，CQ=2t=9，
∴AB=CQ，
∴四边形AQCB是平行四边形．

（2）当四边形AQCB是矩形时，有AB=OQ，
即9=12-2t，
∴t=1.5．
∴t=1.5s时，四边形AQCB是矩形．

（3）当PB=CQ时，四边形PQCB是平行四边形，
即9-2t=2t，
∴t=$\frac{9}{4}$，
此时CQ=2t=4.5，如图作BD⊥OC，垂足为D，

∵B（9，4），C（12，0），
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴BC≠CQ，
∴四边形PQCB不是菱形，
即不存在某一时刻，使四边形PQCB是菱形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．