Question

如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD，分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P，过点P作PQ⊥AB于Q，求证：∠PQC=∠PQD．

Answer 1

考点：四点共圆,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，根据“三角形中位线定理”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可证得四边形PEMF是平行四边形、△DEM≌△MFC，即可得到∠PEM=∠PFM，∠DEM=∠MFC，则有∠DEP=∠CFP，由此可得到∠DAP=∠PBC．易证D、A、Q、P四点共圆，根据圆周角定理可得∠PQD=∠DAP．同理可得∠PQC=∠PBC，即可得到∠PQC=∠PQD．

解答：证明：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如图．
∵E为AP的中点，F为BP的中点，M为AB的中点，
∴EM∥BP，EM=

1

2

BP，MF∥AP，MF=

1

2

AP．
∵E为AP的中点，F为BP的中点，∠ADP=∠BCP=90°，
∴DE=AE=EP=

1

2

AP，FC=PF=BF=

1

2

BP，
∴DE=MF，EM=FC．
在△DEM和△MFC中，

DE=MF EM=FC DM=MC

，
∴△DEM≌△MFC（SSS），
∴∠DEM=∠MFC．
∵EM∥BP，MF∥AP，
∴四边形PEMF是平行四边形，
∴∠PEM=∠PFM．
又∵∠DEM=∠MFC，
∴∠DEP=∠CFP．
∵DE=AE，FC=BF，
∴∠DAE=∠ADE=

1

2

∠DEP，∠FBC=∠FCB=

1

2

∠CFP，
∴∠DAE=∠FBC，即∠DAP=∠PBC．
∵∠ADP=∠AQP=90°，E为AP中点，
∴ED=EA=EQ=EP=

1

2

AP，
∴D、A、Q、P四点共圆，
∴∠PQD=∠DAP．
同理可得：∠PQC=∠PBC，
∴∠PQD=∠PQC．

点评：本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，难度比较大，由线段的中点联想到三角形中位线定理是解决本题的关键．