Question

（1）【操作发现】如图①，在矩形ABCD中，E是BC中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，连接FC，猜想∠GFC与∠GCF的关系，并证明你的结论．
（2）【类比探究】如图②，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【应用】若满足（2）中条件，且∠AGD=140°，则∠FCG=

 

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Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,平行四边形的性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）如图①，首先证明∠AFE=∠ECG=90°，EF=EC；进而得到∠EFC=∠ECF，即可解决问题．
（2）如图②，首先证明∠EFC=∠ECF，其次证明∠EFG=∠ECG，即可解决问题．
（3）运用（2）中的结论，结合外角定理，即可解决问题．

解答：解：（1）∠GFC=∠GCF；理由如下：
如图1，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠ECG=90°；
由题意得：BE=CE，BE=EF，∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ECG=90°，EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF（设为α），
∴∠GFC=∠GCF=90°-α．
（2）（1）中的结论仍然成立；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B+∠ECG=180°；
由题意得：BE=CE，BE=EF，∠AFE=∠B（设为α），
∴∠AFE=∠ECG=180°-α，EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF；
∵∠EFG=180°-α，∠ECG=180°-α，
∴∠EFG=∠ECG，
∴∠GFC=∠GCF．
（3）∵∠AGD=∠GFC+∠FCG，且∠AGD=140°，
∴∠FCG=70°．
故答案为：70°．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、矩形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、平行四边形的性质、矩形的性质等几何知识点．