Question

10．如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，正方形CDEF从点C出发沿射线CA匀速运动，当点C与点A重合时停止，正方形CDEF运动的速度为v，与△ABC重叠部分的面积为S，S关于运动时间t的部分图象如图2所示．
（1）填空：CD=3，v=1．
（2）求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围；
（3）当S的值为6时，求出相应的t的值．

Answer 1

分析 （1）根据图中信息可以知道正方形EFCD的面积，即可求出边长，再根据速度=路程÷时间可以求出速度．
（2）分四种情形：①当0＜x≤3时，②当3＜x≤4时，③4＜x≤7时，④当7＜x≤8时，分别求出重合部分面积即可．
（3）利用（2）结论可以得到结论．

解答 解：（1）由图2可知：正方形EFCD的面积为9，所以CD=3，
在如图3中，延长ED交AC于G，作GH⊥AB于H，则四边形EGHB是矩形，
∵EG∥AB，
∴$\frac{EG}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$，
∴$\frac{EG}{8}$=$\frac{3}{6}$，
∴EG=4，
∴BH=EG=4，
∴V=$\frac{BH}{4}$=1，
故答案为3，1．
（2）①当0＜x≤3时，s=3t．
②当3＜x≤4时，s=9．
③4＜x≤7时，如图4中，
s=S_{正方形EFCD}-S_△DGN=9-$\frac{1}{2}$•[3-$\frac{3}{4}$（8-t）]•$\frac{4}{3}$[3-$\frac{3}{4}$（8-t）]=-$\frac{2}{3}$（$\frac{3}{4}$t-3）²+9．
④当7＜x≤8时，如图5中，
s=S_△AGF′=$\frac{1}{2}$•（11-t）•$\frac{3}{4}$（11-t）=$\frac{3}{8}$（11-t）²．
综上所述s=t$\left\{\begin{array}{l}{3t}&{（0＜t≤3）}\\{9}&{（3＜t≤4）}\\{-\frac{2}{3}（\frac{3}{4}t-3）^{2}+9}&{（4＜t≤7）}\\{\frac{3}{8}（11-t）^{2}}&{（7＜t≤8）}\end{array}\right.$．
（3）s=6时，3t=6，t=2，
或-$\frac{2}{3}$（$\frac{3}{4}$x-3）²+9=6，
t=4+2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$舍弃．
∴t=2或4+2$\sqrt{2}$时s的值为6．

点评 本题考查动点问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．