Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在BC上（不与点B，C重合），连接AD，EF为AD的垂直平分线，分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）当CD=$\sqrt{2}$时，求AO的长；
（2）当四边形AEDF是菱形时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AD，得出AO=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠B=45°，由菱形的性质得出DE=DF，DE∥AB，DF∥BC，得出∠C=∠FDB=90°，∠EDC=∠B=45°，证出DF=BD=DE，CD=CE，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AO=DO=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠C=90°，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴DE=DF，DE∥AB，DF∥BC，
∴∠C=∠FDB=90°，∠EDC=∠B=45°，
∴DF=BD=DE，CD=CE，
∵DE²=CD²+CE²，
∴（2-CD）²=2CD²，
∴CD=2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解决（2）的关键．