Question

14．如图1，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上，BD的长为一元二次方程x²-2x=6-3x的根，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求BD的长；
（2）求AB的长；
（3）将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到△BC′D′，连接DD′，如图2所示，当△DBD′与△ACB相似时，直接写出α的度数．

Answer 1

分析 （1）解方程即可解决问题．
（2）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．在Rt△CHD中，由cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出∠ADC=45°，设CH=x，则DH=x，由DB=2，可得BH=x+2，在Rt△CHA中，∠A=30°，可得AH=CH÷tan30°=$\sqrt{3}$x，因为AC=BC，所以BH=AH=$\frac{1}{2}$AB，可得方程$\sqrt{3}$x=x+2，解方程即可解决问题．
（3）画出图形即可解决问题．

解答 解：（1）解方程x²-2x=6-3x的得到x=2或-3，
∵线段的长度为正，
∴BD=2．

（2）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．

在Rt△CHD中，∵cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ADC=45°，设CH=x，则DH=x，
∵DB=2，
∴BH=x+2，
在Rt△CHA中，∠A=30°，
∴AH=CH÷tan30°=$\sqrt{3}$x，
∵AC=BC，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\sqrt{3}$x=x+2，
∴x=$\sqrt{3}$+1，
∴BH=$\sqrt{3}$+3，
∴AB=2（$\sqrt{3}$+3）

（3）如图2，3中，

当α的度数为120°或240°时，易知∠BDD′=∠BD′D=∠A=∠ABC=30°，
∴△DBD′∽△ACB．
∴α的度数为120°或240°．

点评 本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，属于中考压轴题．