Question

5．正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，BE和AF交于点G，∠DGF=∠DBC，求证：GC=BC．

Answer 1

分析 如图，延长AF交BC的延长线于M，△BAE≌△ADF，推出∠BGM=90°，由△ADF≌△MCF，推出AD=CM=BC，再根据直角三角形斜边中线性质即可证明．

解答 证明：如图，延长AF交BC的延长线于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠ADC=∠BCD=∠DCM=90°，
∵AE=ED，DF=FC，
∴AE=DF，
在ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AGE=∠BGM=90°，
在△ADF和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠MCF=90°}\\{DF=FC}\\{∠AFD=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF，
∴AD=CM=BC，
在Rt△BGM中，∵BC=CM，
∴CG=CB=CM，
∴GC=BC．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，注意AF与BE垂直这个结论的应用和证明，属于中考常考题型．