Question

3．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．

（1）当直线l与直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$平行时，求出直线l的解析式；
（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；
（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=$\sqrt{3}$x+b，把点C（1，0）坐标代入求出b即可．
（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长．②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE=∠ACO，由tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，由此即可解决问题．
（3）由图2、图3、图4、图5可知，当α=15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．

解答 解：（1）当直线l与直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$平行时，设直线l的解析式为y=$\sqrt{3}$x+b，
∵直线l经过点C（1，0），
∴0=$\sqrt{3}$+b，
∴b=-$\sqrt{3}$，
∴直线l的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．

（2）对于直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$令x=0得y=$\sqrt{3}$，令y=0得x=-1，
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（-1，0），∵C（1，0），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
如图1中，

∵CE∥OA，
∴∠ACE=∠ACO，
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACE=30°，
∴α=30°．

（3）由图2、图3、图4、图5可知，当α=15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．

①如图2中，当α=15°时，
∵CE∥OD，
∴∠ODC=15°，
∵∠OAC=30°，
∴∠ACD=∠ADC=15°，
∴AD=AC=AB，
∴△ADB，△ADC是等腰三角形，
∵OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形．
②当α=60°时，易知∠DAC=∠DCA=30°，
∴DA=DC=DB，
∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．
③当α=105°时，易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°，∠DBC=∠DCB=15°，
∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．
④当α=150°时，易知△BDC是等边三角形，
∴AB=BD=DC=AC，
∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形．

点评 本题考查一次函数综合题、两直线平行的条件、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．