Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E，BF∥CD，BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=

3

4

．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）由于直径AB与弦CD互相垂直，BF∥CD，根据平行线的性质得AB⊥BF，于是根据切线的判定定理得到BF是⊙O的切线；
（2）连结BD，如图，根据圆周角定理得∠BCD=∠A，则cosA=cos∠BCD=

3

4

，再由AB为直径得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用余弦的定义可计算出AB=4，从而得到⊙O的半径为2；
（3）连结OD，如图，先在Rt△AED中利用余弦的定义可计算出AE=

9

4

，则OE=AE-OA=

1

4

，再在Rt△ODE中利用勾股定理计算出DE=

3 7

4

，然后根据垂径定理得到CD=2DE=

3 7

2

．

解答：（1）证明：∵直径AB与弦CD互相垂直，BF∥CD，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：连结BD，如图，
∵∠BCD=∠A，
∴cosA=cos∠BCD=

3

4

，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵cosA=

AD

AB

=

3

4

，
∴AB=

3

3 4

=4，
∴⊙O的半径为2；
（3）解：连结OD，如图，
在Rt△AED中，∵cos∠A=

AE

AD

=

3

4

，
∴AE=

3

4

×3=

9

4

，
∴OE=AE-OA=

9

4

-2=

1

4

，
在Rt△ODE中，∵OD=2，OE=

1

4

，
∴DE=

OD2-OE2

=

3 7

4

，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=2DE=

3 7

2

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理、垂径定理和解直角三角形．