Question

已知：如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．
（1）求证：DF=CE；
（2）若DB⊥BE，垂足为B，BD=6，BE=8，求四边形AFBE的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形的面积

专题：几何综合题

分析：（1）先根据“AAS”证明△AOC≌△BOD，得到OC=OD，再根据线段中点即可证明DF=CE；
（2）由DB⊥BE，可得△DBE为直角三角形，再由BD=6，BE=8，求出△DBE的面积，再根据点E、F分别是OC、OD的中点，可得FD=OF=OE=CE，然后根据等底等高的三角形的面积相等可以得出S_△DBF=S_△FBO=S_△OBE，进而求出△FOB或△OBE的面积，再证明四边形AEBF是平行四边形，即可确定其面积．

解答：（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO，AO=BO．
∴△AOC≌△BOD．
∴CO=DO．
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴DF=

1

2

OD，CE=

1

2

OC．
∴DF=CE；
（2）解：∵∠DBE=90°，BD=6，BE=8，
∴S_△BDE=

1

2

BD•BE=

1

2

×6×8=24，
∵E、F分别是OC、OD中点，
∴FD=OF=OE=CE，
∴S_△BOF=

1

3

S_△BDE=

1

3

×24=8，
∵AO=BO，OF=OE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴四边形AFBE的面积=8×4=32．

点评：本题主要考查了全等三角形、平行四边形的性质与判定，有一定的综合综合性，解决的关键是结合图形，认真分析，选择适当的方法判定三角形全等和平行四边形．