Question

3．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y₁（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：

地铁站	A	B	C	D	E
x（千米）	8	9	10	11.5	13
y1（分钟）	18	20	22	25	28

（1）求y₁关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y₂=$\frac{1}{2}$x²-11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

Answer 1

分析 （1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y₁关于x的函数表达式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y₁+y₂=$\frac{1}{2}$x²-9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．

解答 解：（1）设y₁=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=18}\\{9k+b=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故y₁关于x的函数表达式为：y₁=2x+2；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y₁+y₂=2x+2+$\frac{1}{2}$x²-11x+78=$\frac{1}{2}$x²-9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，y_min=$\frac{4×\frac{1}{2}×80-{9}^{2}}{4×\frac{1}{2}}$=39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．