Question

11．已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两实数根之和不小于-6
（1）求k的取值范围；
（2）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=$\frac{m}{x}$ 的图象上，求满足条件的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值，再根据k的范围即可求出答案．

解答 解：（1）由题意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0
化简得-2k+10≥0，解得k≤5，
∵关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两实数根之和不小于-6，
∴2（k-3）≥-6，
解得：k≥0，
即k的取值范围是0≤k≤5；

（2）设方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为x₁，x₂，
根据题意得m=x₁x₂，
又∵由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²-4k-1，
那么m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，当k=2时m取得最小值-5，
∵由（1）知：0≤k≤5，
∴当k=0时，m=（0-2）²-5=-1，当k=5时，m=（5-2）²-5=4，
∴m的取值范围是-5≤m≤4，
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$，
∴m≠0，
综合上述，m的取值范围为-5≤m≤4且m≠0．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，根的判别式等知识点，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．