Question

13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-ax+6与x轴负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，且AB=7．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点P在第一象限内抛物线上，过P作PH∥AB，交y轴于点H，连接AP，交OH于点F，设HF=d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，当PH=2d时，将射线AP沿着x轴翻折交抛物线于点M，在抛物线上是否存在点N，使∠AMN=45°，若存在，求出点N的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴x=$\frac{1}{2}$，以及AB=7，可得A（-3，0），B（4，0），利用待定系数法即可求出a的值．
（2）由抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6），由PH∥OA，HF=d，OF=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6-d，PH=t，OA=3，得到$\frac{FH}{OF}$=$\frac{PH}{OA}$，列出方程即可解决问题．
（3）首先求出直线AM的解析式，利用方程组求得点M的坐标，分两种情形讨论①如图3中，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG，过点A作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点E，作GD⊥EM交EM的延长线于D．易知△AME≌△MGD，推出AE=DM=4，EM=DG=8，推出G（9，4），取线段AG的中点T（3，2），作直线MT交抛物线于N₁，此时∠AMN₁=45°，求出直线MT的解析式利用方程组求出交点N的坐标．②设点G关于直线AM的对称点为G₁，则G₁（1，-12），取AG₁的中点T₁，作直线MT₁交抛物线于N₂，则∠N₂MA=45°，求出直线MT₁的解析式，利用方程组即可求出点N₁的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-ax+6与x轴负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，且AB=7，
又∵对称轴x=-$\frac{-a}{2a}$=$\frac{1}{3}$，
∴A（-3，0），B（4，0），
把（-3，0）代入y=ax²-ax+6得a=-$\frac{1}{2}$．

（2）由抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6，设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6），
∵PH∥OA，HF=d，OF=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6-d，PH=t，OA=3，
∴$\frac{FH}{OF}$=$\frac{PH}{OA}$，
∴$\frac{d}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+6-d}$=$\frac{t}{3}$，
∴d=$\frac{-\frac{1}{2}（{t}^{2}-t-12）}{t+3}$•t=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+2t（0＜t＜4）．

（3）∵t=PH=2d，
∴d=$\frac{t}{2}$，
∴$\frac{t}{2}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
解得t=3或0（舍弃），
∴P（3，3），点P关于x轴的对称点K（3，-3），
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵A（-3，0），
∴M（5，-4），
如图3中，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG，过点A作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，两直线交于点E，作GD⊥EM交EM的延长线于D．
易知△AME≌△MGD，∴AE=DM=4，EM=DG=8，
∴G（9，4），
取线段AG的中点T（3，2），作直线MT交抛物线于N₁，此时∠AMN₁=45°，
∵直线MT的解析式为y=-3x+11，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+11}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∵M（5，-4），
∴N₁（2，5）．
设点G关于直线AM的对称点为G₁，则G₁（1，-12），取AG₁的中点T₁，作直线MT₁交抛物线于N₂，则∠N₂MA=45°，
∵直线MT₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{17}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{14}{3}}\\{y=-\frac{65}{9}}\end{array}\right.$，
∵M（5，-4），
∴N₂（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{65}{9}$）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，5）或（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{65}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，学会构造特殊三角形解决实际问题，属于中考压轴题．