Question

10．△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，它们交于D点，
①求证：BE=CF．
②当α=120°，求∠FCB的度数．
③当四边形ACDE是菱形时，求BD的长．

Answer 1

分析 ①先利用旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则根据“SAS”证明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；
②利用∠FAC=120°，AF=AC可得到∠ACF=30°，再利用AB=AC，∠BAC=45°得到∠ACB=67.5°，然后计算∠BCF；
③利用四边形ACDE是菱形得到AC∥DE，DE=AE=AC=1，则∠ABE=∠BAC=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，然后计算BE-DE即可．

解答 ①证明：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，
∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；

②解：∵α=120°，
∴∠FAC=120°，
而AF=AC，
∴∠ACF=30°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠BCF=67.5°-30°=37.5°；

③解：∵四边形ACDE是菱形，
∴AC∥DE，DE=AE=AC=1，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
而AE=AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴BD=BE-DE=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．