Question

15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，设AB=4，DC=1，BC=4．
（1）求线段AD的长．
（2）在线段BC上是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AB于E点，根据勾股定理求出AD即可；
（2）分为三种情况：AP=AD或PA=PD，根据勾股定理求出BP即可．

解答 解：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E点，

AE=4-1=3，DE=BC=4，
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=5；
（2）如图2，

当AP=AD时，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{B}^{2}}$=3；
如图3，

当PA=PD时，
AB²+BP²=CD²+（BC-BP）²，即4²+BP²=1²+（4-BP）²，
解得BP=$\frac{1}{8}$．
综上所述，线段BP的长是3或$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．