Question

12．阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}+b≥0$，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立．
结论：在a+b$≥2\sqrt{ab}$（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b$≥2\sqrt{P}$，
当且仅当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{P}$．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x=$\frac{3}{2}$时，4x+$\frac{9}{x}$有最小值为12．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$取到最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立；求解即可求得答案；
（2）首先设P（x，$\frac{6}{x}$），则C（x，0），D（0，$\frac{6}{x}$），可得S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（$\frac{6}{x}$+3），然后利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立求解即可求得答案；
（3）首先将原式变形为y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}-4}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵4x+$\frac{9}{x}$≥2×$\sqrt{4x×\frac{9}{x}}$=12，当且仅当4x=$\frac{9}{x}$时，等号成立，
∵x＞0，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴若x＞0，只有当x=$\frac{3}{2}$时，4x+$\frac{9}{x}$有最小值为12；
故答案为：$\frac{3}{2}$，12；

（2）设P（x，$\frac{6}{x}$），则C（x，0），D（0，$\frac{6}{x}$），
∴BD=$\frac{6}{x}$+3，AC=x+2，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（$\frac{6}{x}$+3）=6+$\frac{3}{2}$x+$\frac{6}{x}$≥6+2$\sqrt{\frac{3x}{2}×\frac{6}{x}}$=12，
当且仅当$\frac{3}{2}$x=$\frac{6}{x}$，即x=2时，四边形ABCD面积的最小值为12，
∴OB=OD=3，OA=OC=2，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；

（3）∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$=$\frac{1}{x-4+\frac{16}{x}}$=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}-4}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{16}{x}}-4}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当x=$\frac{16}{x}$，即x=4时，函数y=$\frac{x}{{x}^{2}-4x+16}$取到最大值，最大值为：$\frac{1}{4}$．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了反比例函数的性质、菱形的判定以及阅读应用问题．注意准确理解a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立是关键．