Question

3．如图，过?ABCD的对角线的交点O任意作一条直线交AB，CD分别于点E，F．
（1）求证：BE=DF；
（2）如果E、F分别是这条直线与CB，AD的延长线的交点，是否仍然有BE=DF？若有，请证明；
（3）当BE=$\frac{1}{m}$AB时，若△BOE的面积为S，将?ABCD的面积用含m，S的式子表示出来．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得DO=BO，DC∥AB，根据平行线的性质可得∠CDO=∠OBE，然后再利用ASA判定△FDO≌△EBO可得DF=EB；
（2）根据平行四边形的性质可得DO=BO，DA∥CB，根据平行线的性质可得∠E=∠F，然后再利用AAS判定△FDO≌△EBO可得DF=EB；
（3）过O作OM⊥AB，根据三角形的面积公式可得S_△ABO=mS_△BOE=mS，根据平行四边形的面积可得S_{平行四边形ABCD}=4S_△AOB，进而可得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，DC∥AB，
∴∠CDO=∠OBE，
在△FDO和△EBO中$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{BO=DO}\\{∠DOF=∠EOB}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴DF=EB；

（2）仍然有BE=DF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，DA∥CB，
∴∠F=∠E，
在△FDO和△EBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠E}\\{∠FOD=∠EOB}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴DF=EB；

（3）如图：过O作OM⊥AB，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}×$OM×AB，S_△BOE=$\frac{1}{2}$•OM×EB，BE=$\frac{1}{m}$AB，
∴S_△ABO=mS_△BOE=mS，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_{平行四边形ABCD}=4S_△AOB，
∴S_{平行四边形ABCD}=4mS．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，以及平行四边形的面积，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．