Question

2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别是AB，AC边上的中点，AF⊥BE交BC于点F，连接EF，交CD于点H，则下列结论：①∠FAE+∠EBF=45°；②$\frac{AG}{GE}$=$\frac{BG}{AG}$；③EF⊥CD；④CE=CF．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠ABC=45°，根据余角的性质得到∠EAF=∠ABE，由于∠ABE+∠EBF=∠ABC=45°，于是得到∠FAE+∠EBF=45°；故①正确；由∠ABC=∠EAG，∠AGB=∠AGE=90°，推出△ABG∽△AEG，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{GE}$=$\frac{BG}{AG}$；故②正确；过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，易证△ABE≌△CAM，可得AE=CM，∠AEB=∠M，即可证明△EFC≌△MCF，可得∠FEC=∠M，即可证明△ABE≌△ACD，可得∠ABE=∠ACD，于是得到EF⊥CD，故③正确；根据等腰三角形的性质即可得到故CE≠CF④错误．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵AF⊥BE，
∴∠EAF+∠BAF=∠ABG+∠BAF=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=45°，
∴∠FAE+∠EBF=45°；
故①正确；
∵∠ABC=∠EAG，∠AGB=∠AGE=90°，
∴△ABG∽△AEG，
∴$\frac{AG}{GE}$=$\frac{BG}{AG}$；故②正确；
如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，

在△ABE和△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EAF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠AEB=∠M，
∵AE=EC，
∴EC=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠FCM=90-45°=45°=∠ACF，
在△EFC和△MFC中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=MC}\\{∠FCM=∠ECF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠FEC=∠M，
∴∠FEC=∠FCM，
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠ACD+∠FEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EF⊥CD，故③正确；
∵AD=BD，AC≠BC，
∴∠ACD≠∠BCD，
∵EF⊥CD，
∴CE≠CF；故④错误．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△CAM、△EFC≌△MCF和△ABE≌△ACD是解题的关键．