Question

20．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（-1，0）的抛物线y=-x²+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A（-1，0）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物线的解析式，从而可求得抛物线的对称轴，再依据对称性可求得D（2，3），B（3，0），最后依据待定系数法求得AD的解析式可求得直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）设E（m，-m²+2m+3），则F（-m²+2m+2，-m²+2m+3），EF=-m²+m+2．然后证明△EFG为等腰直角三角形，从而得到EF=（1+$\sqrt{2}$）EF，于是可求得l与m的关系式；
（3）先利用配方法求得点M的坐标，然后根据①AM为矩形的对角线时，②当AM为矩形的一边时两种情况求解即可．

解答 解：（1）∵将点A（-1，0）代入抛物线的解析式得：-1-b+3=0，解得：b=2，
∴y=-x²+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
令x=0得：y=3，则C（0，3）．
∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），B（3，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（-1，0）、D（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1．
∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．
（2）如图1所示：

设E（m，-m²+2m+3），则F（-m²+2m+2，-m²+2m+3），EF=-m²+2m+2-m=-m²+m+2．
∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴l=EF+FG+EG=EF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=（1+$\sqrt{2}$）EF=（1+$\sqrt{2}$）（-m²+m+2）=-（$\sqrt{2}+1$）m²+（$\sqrt{2}$+1）m+2$\sqrt{2}$+2．
（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）．
①AM为矩形的对角线时，如图2所示：

∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（-1，0），M（1，4），
∴N（0，2）．
∵由两点间的距离公式可知：MN=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴NQ₁=NQ₂=$\sqrt{5}$，
∴Q₁（0，2+$\sqrt{5}$），Q₂（0，2-$\sqrt{5}$）．
②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q₃作Q₃E⊥y轴，垂直为E，过Q₄作Q₄F⊥y轴，垂足为F．

∵在△ANO中，AO=1，ON=2，
∴tan∠ANO=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠MNP₄=$\frac{1}{2}$，
∴P₄M$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，NP₄=$\frac{\sqrt{5}}{2}$MN=$\frac{5}{2}$．
∴P₄Q₃=$\sqrt{5}$．
∴P₄E=$\frac{\sqrt{5}}{5}$P₄Q₃=1，EQ3=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$P₄Q₃=2．
∵OE=OP₄-P₄E=4.5-1=3.5，
∴Q₃的坐标为（2，3.5）．
∵点Q₃与Q₄关于点N对称，
∴Q₄（-2，$\frac{1}{2}$）．
综上所述，点Q的坐标为（0，2+$\sqrt{5}$），或（0，2-$\sqrt{5}$）或（2，3.5）或（-2，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求抛物线的顶点坐标、矩形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．