Question

4．如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B处，两边与CD及其延长线交于E，F，若CE=1，则BF的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． $\frac{8}{3}$$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 如图将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．BF与AD交于点G．首先证明GE=AG+CE，设AG=x，在Rt△DGE中，利用勾股定理求出x，再证明BG=FG，求出BG即可解决问题．

解答 解：如图将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．BF与AD交于点G．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠ABC=90°，
∵∠GBE=45°，
∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=45°=∠GBM，
∵BG=BG，∠GBM=∠GBE，BE=BM，
∴△BGM≌△BGE，
∴EG=GM=AM+AG=AG+CE，设AG=x，则DG=3-x，GE=1+x，
在Rt△DGE中，∵GE²=DG²+DE²，
∴（3-x）²+2²=（x+1）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴AG=DG，
易证△AGB≌△DGF，
∴BG=FG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
∴BF=2BG=3$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．