Question

16．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k=6；
（2）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值．
（2）根据矩形的长和宽及反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）表示D和E的坐标，计算tan∠BDE=tan∠CB′B的值相等，所以计算B′C的长，得出D的坐标．

解答 解：（1）连接OE，如图1，
∵Rt△AOE的面积为3，
∴k=2×3=6．
故答案为：6；
（2）连接DB′，
设D（$\frac{k}{5}$，5），E（3，$\frac{k}{3}$），
∴BD=3-$\frac{k}{5}$，BE=5-$\frac{k}{3}$，
∴tan∠BDE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{5-\frac{k}{3}}{3-\frac{k}{5}}$=$\frac{5}{3}$，
∵B与B′关于DE对称，
∴DE是BB′的中垂线，
∴BB′⊥DE，BG=B′G，DB′=BD，
∴∠DGB=90°，
∴∠BDE+∠DBB′=90°，
∠CB′B+∠DBB′=90°，
∴∠BDE=∠CB′B，
∴tan∠BDE=tan∠CB′B=$\frac{5}{3}$=$\frac{BC}{CB′}$=$\frac{3}{CB′}$，
∴CB′=$\frac{9}{5}$，
设CD=x，则BD=B′D=3-x，
则${x}^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}=（3-x）^{2}$，
∴x=$\frac{24}{25}$，
∴D（$\frac{24}{25}$，5）．

点评 本题考查了反比例函数k的几何意义、图象上点的特征、矩形的性质、特殊的三角函数、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，第三问中熟练掌握轴对称的性质和反比例函数点的坐标特征是关键．