Question

14．在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP=30度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC．t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，由PM⊥AB，可得PA=PB，推出P与C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°；
（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，想办法构建方程即可解决问题；
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，分两种情形讨论求解即可；

解答 解：（1）如图1中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，
∵PM⊥AB，
∴PA=PB，
∴P与C重合，
∵MN∥AC，
∴∠NMP=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°．
故答案为30．

（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴AM=t，PC=2-t
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC
∴t=2-t得t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BN，即4-t=$\frac{1}{2}$t，
解得，t=$\frac{8}{3}$．
如图4中，当∠PNC=90°时，

易知BG=2（4-t），MG=$\sqrt{3}$（4-t），
GN=t-2（4-t）=3t-8，GP=NG÷cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（3t-8），
∵PM=2$\sqrt{3}$，
∴MG+GP=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$（4-t）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（3t-8）=2$\sqrt{3}$，
解得t=10，不合题意，
综上所述，t=$\frac{8}{3}$s时，△PNC是直角三角形．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．