Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点E是$\widehat{AD}$上的一点，∠DBC=∠BED．
（1）请判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AD=5，CD=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得∠BAD=∠BED，加上∠DBC=∠BED，所以∠BAD=∠DBC，再由AB为直径得∠ADB=90°，所以∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠DBC+∠ABD=90°，即∠CBO=90°，然后根据切线的判断定理可判断BC为⊙O的切线；
（2）证明△CDB∽△CBA，利用相似比可计算出BC．

解答 解：（1）BC与⊙O相切．理由如下：
∵∠BAD=∠BED，
而∠DBC=∠BED，
∴∠BAD=∠DBC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠CBO=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）∵∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵∠DCB=∠BCA，
∴△CDB∽△CBA，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{BC}{5+4}$=$\frac{4}{BC}$，
∴BC=6．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．