Question

8．已知：如图，在?ABCD中，∠A=60°，E、F分别为AB、CD的中点，AB=2AD，BD=4$\sqrt{3}$，求EF的长．

Answer 1

分析 连结DE，先证明四边形ADFE是平行四边形，得出EF=AD，再证明△ADE是等边三角形，得出DE=AE，求出∠ADB=90°，然后利用勾股定理计算出AD的值，即为EF的长．

解答 解：连结DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DF=$\frac{1}{2}$CD，AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴EF=AD，
∴AB=2AE，
∴AD=AE，
∴∠1=∠4．
∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，
∴∠1=∠A=∠4=60°．
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE．
∵AE=BE，
∴DE=BE，
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，
∴∠2=∠3=30°．
∴∠ADB=∠3+∠4=90°，
∴AB²-AD²=BD²，
∴（2AD）²-AD²=BD²，
∴3AD²=（4$\sqrt{3}$）²，
∴AD=4，
∴EF=4．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，解答此题的关键是构造平行四边形，用平行四边形及等边三角形的性质，直角三角形的性质解答．