Question

5．如图，在一个直角边长为4cm的等腰直角三角形内部，截出一个矩形EFGH，设EF的长为x cm，矩形的面积为y cm²．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x取何值时，y最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可知△AEH∽△ABC，从而可以用含x的代数式表示EH，利用矩形面积公式可得y与x之间的函数关系式；
（2）根据公式法，结合已求得的二次函数解析式可解．

解答 解：（1）如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D．

在Rt△ABC中，AB=AC=4，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵AD⊥BC，
∴△ABD为等腰直角三角形．
∴AD=BD═2$\sqrt{2}$．
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC．
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{AD-EF}{AD}$，即$\frac{EH}{4\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}-x}{2\sqrt{2}}$．
∴EH=-2x+4$\sqrt{2}$．
∴y=x（-2x+4$\sqrt{2}$）=-2x²+4$\sqrt{2}$x；
（2）∵a=-2＜0，
∴二次函数y=-2x²+4$\sqrt{2}$x有最大值，
当x=$-\frac{b}{2a}$=$-\frac{4\sqrt{2}}{-2×2}$=$\sqrt{2}$时，
y_最大值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-2×4×0-（4\sqrt{2}）^{2}}{-2×4}$=4．

点评 本题主要考查的是二次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的性质、矩形的性质，利用相似三角形的性质求得矩形的长（用含x式子表示）是解题的关键．