Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t s，四边形APQC的面积为y cm²．
（1）求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）过P作PH⊥BC，垂足为H，解等腰直角三角形PHB，求出PH的长，利用路程=速度×时间表示出BQ，得出S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t，那么y=S_△ABC-S_△BPQ，代入即可，进而根据条件得到t的取值范围；
（2）利用配方法将（1）中所求解析式变形为顶点式，即可解决问题．

解答 解：（1）过P作PH⊥BC，垂足为H，如图，
在Rt△PHB中，∵PB=AB-AP=4-t，∠B=45°，∠PHB=90°，
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）．
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PH=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t，
∴y=S_△ABC-S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×4×4-（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²+$\sqrt{2}$t）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8．
∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，
∴0＜t＜4．
∴y与t的函数关系式为y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8，0＜t＜4；

（2）y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t²-$\sqrt{2}$t+8=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（t-2）²+8-$\sqrt{2}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$＞0，
∴当t=2时，y取得最小值，最小值是8-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求出y与t的函数关系式是解决该题的关键．