Question

17．如图，用长120cm的木条制成如图形状的矩形框（矩形框中间有一横档）．设矩形框的宽AB为x（cm），所围成的面积为S（cm²）．
（1）求S关于x的函数表达解析式和自变量x的取值范围；
（2）要使矩形框的面积为594cm²，则AB的长为多少；
（3）能围成面积比594cm²更大的矩形框吗？如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=x且木条的总长为120cm得出BC=$\frac{120-3x}{2}$cm，根据矩形的面积公式可得函数解析式，由AB＞0且BC＞0可得x的范围；
（2）根据（1）中函数解析式，令S=594列出关于x的方程求解可得；
（3）将（1）中函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质可得最值．

解答 解：（1）当AB=xcm时，BC=$\frac{120-3x}{2}$cm，
∴S=x•$\frac{120-3x}{2}$=-$\frac{3}{2}$x²+60x，
∵$\frac{120-3x}{2}$＞0，且x＞0，
∴0＜x＜40；

（2）根据题意，得：-$\frac{3}{2}$x²+60x=594，
解得：x=22或x=18，
答：要使矩形框的面积为594cm²，则AB的长为22cm或18cm；

（3）∵S=-$\frac{3}{2}$x²+60x=-$\frac{3}{2}$（x-20）²+600，
∴当x=20时，S取得最大值，最大值为600cm²，
故能围成面积比594cm²更大的矩形框，当AB=20cm、BC=30cm时，窗框的面积最大，最大面积为600cm²．

点评 本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，根据题意得出BC的长是解题的根本，由矩形的面积公式得出函数解析式及一元二次方程是解题的关键．