Question

20．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，把线段AE沿EC方向平移，使得点E与点C重合，得到线段CF．
（1）在图中画出线段CF．
（2）线段AE还可以通过一次的图形变换（轴对称或旋转）得到线段CF吗？试作简要说明．
（3）若AE=13，AD=12，直接写出线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平移的条件画出图形即可．
（2）线段AE还可以绕正方形对角线的交点旋转180^o得到线段CF；只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题．
（3）作EH⊥AB于H．则四边形ADEH是矩形，在Rt△EHF中，根据EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$，求出EH，HF即可．

解答 解（1）线段CF如图所示，

（2）线段AE还可以绕正方形对角线的交点旋转180^o得到线段CF；
理由：∵AE=CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，连接AC、EF交于点O，
∴OA=OC，
∵四边形AECF是中心对称图形，
∴线段AE还可以绕正方形对角线的交点O旋转180^o得到线段CF．
（3）作EH⊥AB于H．则四边形ADEH是矩形，AH=DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=5，EC=AF=7，
在Rt△EHF中，∵EH=AD=12，HF=AF-AH=CE-DE=7-5=2，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{37}$．

点评 本题考查正方形的性质、平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造特殊三角形，属于中考常考题型．