Question

6．如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为3，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为$\frac{9}{8}π-\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由OC=3，点C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，求得DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{9-O{D}^{2}}$，运用S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•$\sqrt{9-O{D}^{2}}$，求得OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△OCD的面积求解．

解答 解：∵OC=3，点C在$\widehat{AB}$上，CD⊥OA，
∴DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{9-O{D}^{2}}$
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD•$\sqrt{9-O{D}^{2}}$
∴S△OCD2=$\frac{1}{4}$OD²•（9-OD²）=-$\frac{1}{4}$OD⁴+$\frac{9}{4}$OD²=-$\frac{1}{4}$（OD²-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{16}$
∴当OD²=$\frac{9}{2}$，即OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时△OCD的面积最大，
∴DC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{9}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴∠COA=45°，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△OCD的面积=$\frac{45π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{8}π-\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{8}π-\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时△OCD的面积最大．