Question

1．在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$，AD=10，点P在直线BC上，且满足∠APD=90°，则∠APB的正切值为$\frac{1}{3}$或3．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则∠AMP=∠DNP=90°，MN=AD=10，AM=DN，由平行四边形的性质和三角函数求出DN=AM=AB•sin60°=3，证明△PDN∽△APM，得出对应边成比例求出DN，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
则∠AMP=∠DNP=90°，MN=AD=10，AM=DN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=60°，
∴DN=AM=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵∠APD=90°，DN⊥BC，
∴∠PDN=∠APB，
∴△PDN∽△APM，
∴$\frac{PN}{AM}=\frac{DN}{PM}$，
即$\frac{PN}{3}=\frac{3}{10-PN}$，
解得：PN=1，或PN=9，
当PN=1时，tan∠APB=tan∠PDN=$\frac{PN}{DN}$=$\frac{1}{3}$；
当PN=1时，tan∠APB=tan∠PDN=$\frac{PN}{DN}$=3；
故答案为：$\frac{1}{3}$或3．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角函数、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出PN的长是解决问题的关键．