Question

15．已知二次函数y=x²+px+q图象的顶点M为直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与y=-x+m-1的交点．
（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；
（2）当x≥2时，二次函数y=x²+px+q与y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的值均随x的增大而增大，求m的取值范围
（3）若m=6，当x取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y_最小值=2，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$和y=-x+m-1，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标；
（2）根据题意得出$\frac{2m-3}{3}$≤2，解不等式求出m的取值；
（3）当t-1≤3时，当3≤t+3时，二次函数y_最小值=2，解不等式组即可求得．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=-x+m-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m-3}{3}}\\{y=\frac{m}{3}}\end{array}\right.$，
即交点M坐标为$（\frac{2m-3}{3}，\frac{m}{3}）$；

（2）∵二次函y=x²+px+q图象的顶点M为直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与y=-x+m-1的交点为$（\frac{2m-3}{3}，\frac{m}{3}）$，且当x≥2时，二次函数y=x²+px+q与y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$的值均随x的增大而增大，
∴$\frac{2m-3}{3}$≤2，
解得m≤$\frac{9}{2}$，
∴m的取值范围为m≤$\frac{9}{2}$；

（3）∵m=6，
∴顶点为（3，2），
∴抛物线为y=（x-3）²+2，
∴函数y有最小值为2，
∵当x取值为t-1≤x≤t+3时，二次函数y_最小值=2，
∴t-1≤3，t+3≥3，
解得0≤t≤4．

点评 此题主要考查了二次函数的性质以及图象，熟练掌握二次函数增减性是解题关键．