Question

5．如图1，点P是∠MON平分线上的点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）求证：PA=PB；
（2）如图2，若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足∠PBD=∠ABO，求OP的长．

Answer 1

分析 （1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为M、N，由四边形内角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，则∠EPF=∠APB，可证∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，可证△EPA≌△FPB，得出结论；
（2）作BH⊥OT，垂足为T，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度数为75°，从而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，则∠BPO=45°，分别解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP．

解答 解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F
∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分线的性质，得PE=PF，
在△EPA与△FPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEP=∠OFP}\\{PE=PF}\\{∠EPA=∠FPB}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△FPB，
∴PA=PB；

（2）作BH⊥OP，垂足为H，
当∠MON=60°时，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，
∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=$\frac{1}{2}$OB=1，OH=$\sqrt{3}$，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质的运用．正确作出辅助线是解题的关键．