Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段AC上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用t（单位：秒）表示．
（1）直接写出线段AB的长为5；
（2）经过t秒时，AQ的长为t，AP的长为5-t（用含t的代数式表示）；
（3）求当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，直接由勾股定理可得AB的长；
（2）由点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动可得经过t秒时，AQ的长为t，由同时点Q在线段AC上以同样的速度从点A向点C运动，可得BP=t，AP=5-t；
（3）由∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的SAS判定定理逆推可得当$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ与△ABC相似，利用（2）的结论，分两种情况讨论可得结果．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
故答案为：5；

（2）∵点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，
∴经过t秒时，AQ=t，
∵同时点Q在线段AC上以同样的速度从点A向点C运动，
∴BP=t，AP=5-t，
故答案为：t，5-t；                    

（3）∵∠PAQ=∠BAC，
∴当$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$△APQ与△ABC相似，
第一种情况，当$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$时，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$，
解得：$t=\frac{20}{9}$；
第二种情况，当$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$时，
而AQ=t，AP=AB-BP=5-t，
∴$\frac{5-t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得：$t=\frac{25}{9}$，
综上所述：当$t=\frac{20}{9}$或$t=\frac{25}{9}$时，△APQ与△ABC相似．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质及判定定理，根据题意得出AQ，AP，利用SAS定理分两种情况讨论是解答此题的关键．