Question

7．如图，已知抛物线y=x²+bx-3与x轴一个交点为A（1，0）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D为x轴下方的抛物线上一点，求△ABD面积的最大值及此时点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=x²+bx-3求出b=2，从而得到抛物线的解析式为y=x²+2x-3，然后通过解方程x²+2x-3=0即可得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）先利用配方法得到y=x²+2x-3=（x+1）²-4，于是得到顶点坐标为（-1，-4），根据三角形面积公式，当点D在顶点时△ABD面积最大，根据三角形面积公式可计算出△ABD面积的最大值，并且得到此时D点坐标．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=x²+bx-3得1+b-3=0，解得b=2，
所以抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=1，x₂=-3，
所以抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（-3，0）；
（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，则抛物线的顶点坐标为（-1，-4），
因为AB=1-（-3）=4，
所以当点D在顶点时△ABD面积的最大，△ABD面积的最大值=$\frac{1}{2}$×4×（-4）=8，此时D点坐标为（-1，-4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了三角形面积公式．