Question

7．如图1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
（1）求OC的长；
（2）若将△PCO沿着射线PA方向平移，设平移的距离为n（平移距离指点P沿PA方向所经过的线段长度）．当点C分别平移到线段PO、AO上时，直接写出相应的n的值；
（3）如图2，将△PCO绕点O逆时针旋转一个角α，记旋转中的△PCO为△P′OC′．在旋转过程中，设P′O所在的直线与线段AP交于点Q，与射线AD交于点H．是否存在这样的Q、H两点，使△AQH为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折叠和勾股定理求得答案即可；
（2）过C作CC₁∥PA，交PO于C₂，由此利用三角形的面积和折叠的性质求得答案即可；
（3）分三种情况探讨：①当QA=QH时，②当AH=AQ时，③当HA=HQ时，逐一分析探讨得出答案即可．

解答 解：（1）∵折叠，
∴AP=AB=10，AD=8，
∴DP=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CP=4，
设OC=x，在直角三角形中，
（8-x）²=x²+4²
解得：x=3
∴OC=3；
（2）如图1，

①过C作CC₁∥PA，交PO于C₂，
∵AP⊥PO，
∴CC₁⊥PO，
∴CC₁=$\frac{PC•CO}{PO}$=$\frac{12}{5}$=n；
②作P₂C₂∥AB，
则∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AP₂=P₂C₂=4，
∴PP₂=10-4=n．
（3）①当QA=QH时，
∠DAQ=∠AHQ，
又∠AHQ=∠P′OC，
∵∠POC＞∠DAP，
∴不存在．
②当AH=AQ时，
如图，

∵∠AQH=∠H，
∠H=∠QOC，
∴△EQO是等腰三角形，
∵∠EAB=∠APO，
∴tan∠EAB=$\frac{4}{3}$，
∴AE=$\frac{40}{3}$，
OE=$\frac{40}{3}$-5=$\frac{25}{3}$，
AE=$\frac{50}{3}$，
∴AQ=$\frac{50}{3}$-$\frac{25}{3}$=$\frac{25}{3}$．
③当HA=HQ时，
如图，

∠2=∠3．
又∵∠2=∠1，
∴∠1=∠4，
∵∠C=∠APO，
∴△PCO∽△QPO，
∴$\frac{PQ}{PC}$=$\frac{PO}{CO}$，
即PQ=$\frac{4×5}{3}$=$\frac{20}{3}$，
∴AQ=10-$\frac{20}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 此题考查四边形的综合题，综合利用勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质等知识解决问题，同时渗透分类讨论的思想．