Question

8．如图，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当0＜t＜2为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，△AQP是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，可得AB=5cm，即可得AQ=2t，AP=5-t，然后分别从若△APQ∽Rt△ACB与若△AQP∽Rt△ACB去分析，由相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；
（2）过点P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得PH=3-$\frac{3}{5}t$，然后根据三角形的面积公式，从而求得y与t的函数关系式；
（3）在△APQ中，分三种情况讨论：①当QA=QP，②当AP=AQ，③当PA=PQ时，分别计算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，
∴AB=5cm，
∴AQ=2t，AP=5-t，
若△AQP∽△ACB，
则$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$
∴$\frac{2t}{4}=\frac{5-t}{5}$
解得：t=$\frac{10}{7}$（s）；
若△APQ∽△ACB，
则$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{2t}{5}=\frac{5-t}{4}$，
解得：t=$\frac{25}{13}$（s）．
∴综上所述：若使以A、P、Q为顶点的三角形与Rt△ACB相似，t的值等于$\frac{10}{7}s$或$\frac{25}{13}s$；

（2）如图，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴y=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}×2t×（3-\frac{3}{5}t）$=-$\frac{3}{5}$t²+3t；
                                   
（3）当QA=QP时，2AQcosA=AP，
即 2×$2t×\frac{4}{5}$=5-t，解得：t=$\frac{25}{21}$；
当AP=AQ时，
即 2t=5-t，解得：t=$\frac{5}{3}$；
当PA=PQ时，2APcosA=AQ，
即2×（5-t）×$\frac{4}{5}$=2t，解得：t=$\frac{20}{9}$（不合题意，舍去）  
综上所述，当t=$\frac{25}{21}$（s）或t=$\frac{5}{3}$（s）时，△AQP是等腰三角形．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质．解题关键时注意相似三角形的对应边成比例与分类讨论思想的应用．