Question

15．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为1.5，ED=2，求AB的长．
（3）在（2）的条件下，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求s的面积．

Answer 1

分析 （1）先由OA=OD得出∠BAC=∠ADO，再由OE∥AB得出∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，进而得出∠COE=∠DOE，即可判断出△COE≌△DOE（SAS）得到∠ODE=∠C=90°，即可；
（2）由（1）得出△COE≌△DOE（SAS），得出CE=DE=2，用勾股定理求出OE，再判断出OE是△ABC的中位线，即可求出AB；
（3）先判断出OE垂直平分CD，再用△COE的面积求出斜边上的高，进而得出CD，用勾股定理求出AD，最后用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠COE=∠DOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠C=∠ODE，
∵∠C=90°，
∴∠ODE=∠C=90°，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线；

（2）由（1）知，△COE≌△DOE（SAS），
∴CE=DE=2，
在Rt△OCE中，OC=1.5，CE=2，
根据勾股定理得，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵OE∥AB，OA=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=5；

（3）如图2，连接CD交OE于H，连接OD，
由（1）知，∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，
∴OE⊥CD，DH=CH=$\frac{1}{2}$CD，
在Rt△OCE中，OC=1.5，CE=2，OE=$\frac{5}{2}$，
∵S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC•CE=$\frac{1}{2}$OE•CH，
∴CH=$\frac{OC•CE}{OE}$=$\frac{6}{5}$，
∴DH=$\frac{6}{5}$，CD=2CH=$\frac{12}{5}$，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，CD=$\frac{12}{5}$，AC=2OA=3，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵OE∥AB，
∴△ADF的边上的高h和DH相等，
∴h=DH=$\frac{6}{5}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$AD•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{5}$×$\frac{6}{5}$=$\frac{27}{25}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，全等三角形的判断和性质，勾股定理，垂径定理，判断出△COE≌△DOE（SAS）和求出CH是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．