Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（-2，1）、B（1，-n）
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A点的坐标可以求出m的值，即得出反比例函数的解析式；再代入x=1，可以求出n的值，由此得出B点的坐标，将A、B的坐标代入一次函数解析式，得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）由两点间的距离公式可以求出线段AB的长，由点到直线的距离公式可以得出O点到线段AB的距离，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（3）显然当y₁＜y₂时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论．

解答 解：（1）将点A（-2，1）代入反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$中，得1=$\frac{m}{-2}$，
解得：m=-2．
故反比例函数的解析式为y₂=$\frac{-2}{x}$．
令x=1，则y=$\frac{-2}{1}$=-2，
即点B的坐标为（1，-2）．
将A（-2，1）、B（1，-2）代入一次函数y₁=ax+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{1=-2a+b}\\{-2=a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故一次函数解析式为y₁=-x-1．
（2）一次函数解析式为y₁=-x-1，即x+y₁+1=0
点O到直线AB的距离h=$\frac{|1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵点A（-2，1）、点B（1，-2），
∴AB=$\sqrt{[（-2）-1]^{2}+[1-（-2）]^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
△AOB的面积为$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（3）观察图象可知当直线AB的图象在反比例函数图象的上方时有y₁＜y₂，
当x＜-2时，y₁＜y₂；
当0≤x＜1时，y₁＜y₂．
故当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围为x＜-2或0≤x＜1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用点在函数图象上，代入解方程即可；（2）套入三角形的面积公式；（3）数形结合找出结论．本题属于中档题，难度不大，但做题过程稍显繁琐，利用待定系数法求函数解析式是解决该类问题的关键．