Question

8．如图，过矩形ABCD的顶点B作BE⊥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，证出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，再证明△AEF∽△ADC，得出$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，得出x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，AC=$\sqrt{6}$a，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：∵点F是边AD的中点，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，
∵BF⊥AC，
∴∠AEF=∠D=90°，
∵∠EAF=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{a}{3x}=\frac{x}{2a}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴AC=$\sqrt{6}$a，
∴sin∠ACD=$\frac{2a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．