Question

9．方程x²-3x+1=0有两个根α，β．
（1）求$\frac{{α}^{2}-5α+1}{{α}^{2}+1}$的值；
（2）求|α-β|的值．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的解的定义可以求得α²+1=3α，由根与系数的关系知αβ=1，α+β=3，然后代入所求的代数式求值即可．

解答 解：∵α，β是方程x²-3x+1=0的两个根，
∴α²-3α+1=0，即α²+1=3α，αβ=1，α+β=3；
（1）求$\frac{{α}^{2}-5α+1}{{α}^{2}+1}$=$\frac{3α-5α}{3α}$=$\frac{2}{3}$；
（2）|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了一元二次方程的解的定义、根与系数的关系．解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义．