Question

4．计算：
（1）已知a+b=3，ab=-2，求a²+b²和a²-ab+b²的值；
（2）已知（x+y）²=1，（x-y）²=49，求x²+y²和xy的值；
（3）已知a-b=1，a²+b²=25，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法将a²+b²和a²-ab+b²转化为含a+b与ab的代数式，代入数据即可求出结论；
（2）利用完全平方公式将（x+y）²=1和（x-y）²=49展开，联立成含x²+y²和xy的方程组，将x²+y²和xy当成一个整体，解方程组即可得出结论；
（3）将a-b=1两边同时平方，利用完全平方的展开式，代入a²+b²=25，即可求出ab的值．

解答 解：（1）a²+b²=（a+b）²-2ab=3²-2×（-2）=13；
a²-ab+b²=（a+b）²-3ab=3²-3×（-2）=15．
（2）∵（x+y）²=x²+y²+2xy=1，（x-y）²=x²+y²-2xy=49，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy=49}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{xy=-12}\end{array}\right.$．
（3）∵a-b=1，
∴（a-b）²=a²+b²-2ab=1，
又∵a²+b²=25，
∴25-2ab=1，
解得：ab=12．

点评 本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）将a²+b²和a²-ab+b²转化为含a+b与ab的代数式；（2）利用完全平方公式的展开式得出关于x²+y²和xy的方程组；（3）利用完全平方公式的展开式得出关于ab（将ab当成一个整体）的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用完全平方公式的展开式得出关于x²+y²和xy的方程组（将x²+y²和xy当成一个整体）是关键．