Question

19．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点为A、B，OC∥PA交PB于点C，AC交⊙O于点D．
（1）连接AB，BD，求证：∠CBD=∠BAC；
（2）连接OD，若$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，求tan∠COD的值．

Answer 1

分析 （1）延长BO交⊙O于N，连接DN，欲证明∠CBD=∠BAC，只要证明∠N=∠BAD，∠CBD=∠BAC即可．
（2）连接OA，作DM⊥OC于M，由DM∥OA，设OA=OD=a，得$\frac{DM}{OA}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，得DM=$\frac{1}{3}$a，在RT△DOM中利用勾股定理求出OM即可解决问题．

解答 （1）证明：延长BO交⊙O于N，连接DN．
∵PA是⊙O切线，
∴PB⊥NB，
∴∠PBN=90°，
∴∠PBD+∠NBD=90°，
∵BN是直径，
∴∠BDN=90°，
∴∠NBD+∠N=90°，
∴∠PBD=∠N，
∵∠N=∠BAD，
∴∠CBD=∠BAC．
（2）解：连接OA，作DM⊥OC于M．
∵PA是⊙O切线，
∴PA⊥OA，
∵OC∥PA，
∴OC⊥OA，
∵DM⊥OC，AD=2CD，
∴DM∥OA，
设OA=OD=a，
∴$\frac{DM}{OA}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$a，
在RT△ODM中，∵OD=a，DM=$\frac{1}{3}$a，
∴OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{3}a）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∴tan∠COD=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{2\sqrt{2}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查切线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、圆等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．