Question

9．如图，在直角坐标系中，圆O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，直线L的方程为x-y+3=0，在L上任取一点P作圆O的切线，切点为T，则PT长的最小值是$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 由PT=$\sqrt{P{O}^{2}-O{T}^{2}}$可知求出OP的最小值即可解决问题．

解答 解：∵PT是切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴PT=$\sqrt{P{O}^{2}-O{T}^{2}}$，
要求PT最小值只要求OP的最小值，如图作OP⊥AB垂足为P，此时OP最小，
∵OA=OB=3，
∴点P坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），OP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PT=$\sqrt{P{O}^{2}-O{T}^{2}}$=$\sqrt{\frac{18}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$

点评 本题考查切线的性质、一次函数的有关知识、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是PT=$\sqrt{P{O}^{2}-O{T}^{2}}$，要求PT最小值只要求OP的最小值，学会转化的思想，属于中考常考题型．